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厉害啦,这么重要的数学问题,课堂上用两个APP就搞定啦!

HP数学实验室订阅号2020-09-19 12:30:54


作者简介

毕巧艳,江苏省常州第五中学教师,安徽亳州,应用数学硕士,中学二级教师。研究方向为中学数学解题教学研究,教育技术在中学数学教学中的应用。



线性规划是运筹学的重要内容。它是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力,最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科,主要在以下两类问题中得到应:一是在人力、物力、财力等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务(即“少投入,多产出”)。本节课是在学生已经学过二元一次不等式表示平面区域的知识,主要讲解如何应用图解法去解决一些简单的线性规划问题问题,它既是前面所学知识的应用,又是学生今后在大学学习或社会工 作中的一种预备知识。



本节课重点训练学生通过对实例演示的观察、分析、理解,自己动手解决问题的能力,数形结合的能力。同时在练习过程中,学生自己要通过对图形计算器的操作培养动手能力。而且,采取分组讨论互相交流的合作形式,培养学生的合作精神与交流能力。因此,这节课无论在学习数学知识,还是对学生能力与情感的培养上,都起着十分重要的作用。


       


一、教学目标及重难点


教学目标:

1.知识与技能:了解线性规划的意义及其相关概念,理解线性规划的图解法,并会求线性目标函数的最值,培养学生使用图形计算器的动手能力和探究意识.

2.过程与方法:本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础,将问题转化为线性规划问题来解决,培养学生运用数形结合思想解决问题的能力.

3.情感态度与价值观:结合教学内容,培养学生利用技术探索数学知识的兴趣,激励学生创新.

教学重点如何应用图解法寻找线性规划问题的最优解.

教学难点:用图解法求解线性规划问题.



       



二、教学策略与设计

教学策略选择利用图形计算器强大的作图功能和动态演示共鞥,实现线性目标函数直线的平移,在平移的过程探讨最值的取得与直线的位置关系。

教学策略设

1、交互式一体机展示实际问题。

2、在图形计算器的高级绘图程序,作出可行域,改变目标函数z的取值,以实现直线的平移,观察z何时取得最大值;教师将课前做好的APP发送给每个同学,同学们在APP上操作,实现直线平移的动态连续展示,以获得更深刻的认识;学生们将前面活动中观察到规律,归纳总结,给出图解法解决线性规划问题的步骤以及确定最优解的方法,并利用HP的课堂管理系统和交互式一体机的系统进行展示。

3、关于例1,同组的两个学生一人利用手中的计算器进行计算,另外一个同学通过直尺作图在学案上完成解答。教师利用HP Prime的课堂管理系统监控学生在计算器上的操作,并选取有代表性的进行点评。同时教师还可以通过交互式一体机的系统将学生写在学案上的解题步骤利用手机拍照上传到一体机上进行点评。

4、学生要通过图形计算器中的高级绘图和几何学程序作出可行域,在移动直线的过程中观察目标函数值与直线位置的关系,每组总结自己的探究结果,归纳最优解的取得情况,并通过Prime展示自己的结论.教师利用HP Prime的课堂管理系统和一体机上的系统直接展示学生的研究结果,并及时点评,给予反馈。



       




三、教学环境及设备资源准备

教学环境交互式一体机教室、HP Prime、无线发射器、预先安装了HP Prime虚拟机和交互式一体机的相关程序的电脑和手机。

教师准:利用Prime做好上课需要的应用程序.

学生准备熟悉Prime中作不等式(组)对应的区域的相关操作.

教学资源HP Prime、交互式一体机、发射器、预先安装了HP Prime虚拟机和交互式一体机的相关程序的电脑和手机。



       



四、教学过程

     (一)创设问题情境、引入课题

1、展示问题

利用交互式一体机放映PPT,展示问题情境:某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t,产生的利润为2万元;生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t,产生的利润为1万元.现有库存A种原料10t,B种原料60t,问如何安排才能使利润最大?

2、问题分析、引入课题

在原料一定的条件下,求解利润何时取最大值的问题,建立如下的数学问题模型。

若实数x,y满足条件,求函数z=2x+y的最大值与最小值。

引出本节课的主题:简单的线性规划问题。带领学生学习线性规划问题的相关概念。

    (二)建构新知

引导学生从“数”与“形”两个方面来考虑问题的解决方法。从“数”的方面来考虑,发现无法给出x与y的精确范围,因此求出的目标函数的范围不够精确(可以留下问题让学生思考为什么得不到精确范围,实际上后面的图解法中就从不等式组所表示的区域的角度就给出了原因)。从“形”的方面来考虑,引导学生正确给出约束条件和目标函数的几何表示,亦即不等式组对应的区域。而目标函数理解为一族平行的直线,移动直线,判断目标函数在直线移动到何位置时取得最值。



       



五、学生活动

两个学生为一组进行活动,依次进行下面的学习活动。

活动、打开图形计算器中的高级绘图应用程序,在符号视图中输入如图1所示的语句,在绘图视图中可以得到如图2所示的可行域。

             

图1


 图2

至于目标函数,考虑给z取具体的值(如图1所示)来画出相应的直线,在绘图视图中,依次选择“菜单----矩阵迹----选项----V2”和“菜单----定义”,就可以直接改变z的值了,从而实现直线的平移,如图2所示。学生在操作的过程注意观察z值的变化对于直线位置的影响,并思考直线移动到什么位置时z能取得最大值和最小值。

设计意图学生已经在线性规划的第一课时学习了不等式组表示的平面区域,因此本课的重点在于充分理解图解法解决线性规划问题的合理性以及应用图解法解决简单的线性规划问题,Prime固有的强大的作图功能可以节省教学中的作图时间,从而给学生留下更多的时间去操作去探索去总结其中蕴含的规律,也更有利于学生深入理解数形结合的作用。另外Prime可以做出足够多的案例来丰富学生的认识,将研究视角聚焦于直线位置变化与z值大小的联系上,以保证学习和研究的逐步深化。

活动二、教师将事先准备好的APP(也可以打开几何学应用程序,在符号视图中输入如图3的语句)通过HP Wireless kit 无线工具包发送到每个学生的计算器上。学生长按参数值z直到图4中滑动条出现,拖动滑动条可以更改参数的值,从而实现直线z=2x+y的移动,在直线的移动过程中,注意观察z值的变化对于直线位置的影响,并思考z取得最值时直线的位置。

设计意图:活动1和2中直线的选取是零散的,因此所观察到的结论也是相对碎片化的;通过活动3将零散的、碎片化的认识串起来形成整体,而为了便于细化所发现的结论,活动中留给学生足够观察、探索、思考的时间和空间,有利于学生生成更深刻的认识。利用HP Prime中监控和传输数据的功能,将教师事先做好的APP直接发给学生,节省了时间.动态的图形展示帮助了学生获得了较为直观的感受,为学生理解线性规划问题奠定了基础.(也可以在如图4中的界面中选“编辑”,进入页面中进行设置,从而实现连续自动的动画展示)。


图3

图4 

活动三、学生根据前面的操作,将自己所观察到的规律进行归纳,总结图解法解决简单线性规划问题的步骤(已经指出线性约束条件和线性目标函数的),并填写到学案上,教师选出部分小组来汇报自己的研究成果。

设计意图:以往的课堂多是老师讲解图解法的步骤,学生对于图解法的理解只限于解决具体的最值问题。而本堂课借助于图形计算器,学生自己去探究,侧重于知识的生成过程,培养学生动手动脑的习惯。采取分组讨论互相交流小组汇报的合作形式,培养学生的合作精神、交流能力、口头表达能力。

(三)知识运用

例1.已知满足,求z=x+2y-4的最大值和最小值。

同组的两个学生一人利用手中的计算器进行计算,另外一个同学通过直尺作图在学案上完成解答。教师利用HP Prime的课堂管理系统监控学生在计算器上的操作,并选取有代表性的进行点评。同时教师还可以通过交互式一体机的系统将学生写在学案上的解题步骤利用手机拍照传到一体机上进行点评。

设计意图:课堂中我们一直关注如何能够更快速更高效的对于学生的课堂练习给予反馈,本课中通过HP Prime的课堂管理系统和交互式一体机的系统实现对于学生学习行为的及时关注及时反馈。安装了HP Prime连接器的电脑插入一个发射器就可以生成无线局域网,学生连接上此网络教师就可以在连接器中观察到学生的操作。交互式一体机可以也可以生成一个局域网,安装了相关系统的手机连接此局域网,既可以将学生的练习作业拍照上传至一体机,而不需要学生到黑板板演,有效了节省了时间,也能更方便的实现了学生成果直接展示,反馈更加快捷。

(四)知识的进一步应用

例2.如图所示,已知△ABC中的三顶点A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题:

(1)z=x+y在______处有最大值_______,在_______处有最小值_______;

(2)z=x-y在_______处有最大值______,在______处有最小值_______;

(3)请你分别设计目标函数(例如z=ax+y),使得最值点分别在A处、B处、C处取得?

(4)你能否设计一个目标函数,使得其取最优解的情况有无穷多个?

学生要通过图形计算器中的高级绘图和几何学程序作出可行域,在移动直线的过程中观察目标函数的值与直线位置的关系,思考最优解的取得问题.每组总结自己的探究结果,归纳最优解的取得情况,并通过图形计算器展示自己的结论.教师利用HP Prime的课堂管理系统和一体机上的系统直接展示学生的研究结果,并及时点评,给予反馈.

设计意图:用已知有唯一(或无数)最优解时,反过来确定目标函数某些字母系数的取值问题,来训练学生从各个不同的侧面去理解图解法求最优解的实质,培养学生思维的发散性。不仅教学生学习数学知识,而且教学生学习数学方法,在做中学,让学生自己发现发明,实现对学生创造力的培养。



       


       

六、教学评价设计

本节课是在学生对线性规划问题有一点了解的基础上,再结合和图形计算器和交互式一体机来进行学习,达到了预期教学目标:学生了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念;了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.在教学的过程中讲练结合,同时学生通过操作观察探索也加深了对知识的理解.特别是直线平移到区域的边界点的这一过程中,所体现的数学思想及形象又直观地在学生面前展现出来,在学生通过具体的图形和实际的操作完成练习的过程中,体会到了成功的快乐.在教学过程中渗透了数形结合的数学思想,培养学生“数形结合”的应用数学的意识,在练习上,学生自己也体会到数形结合思想的重要性.

当然也有很多不足和有待改进的地方。第一点,本节课的设计重点是放在图解法解简单的线性规划的问题上的,故本节课对于问题背景的设计可以再简化。事实上线性规划问题的背景在不等式表示的区域中已经提到过。第二点,因为例1的练习和讲解耽误了一些时间,导致例2的自主探究没有展开。课前是基于一节课的完整角度考虑,新的内容学习完,应该及时配套一个练习以巩固所学。但是本节课更侧重于探究线性规划问题最优解的取得问题,在教学设计时应该更大胆一些,再多给学生机会去进行深层次的探究,而不只是练习。如只需在活动三后面再加一个活动四,学生利用计算器操作,并思考这样几个问题:

① z=4x+y何时取最大值?最优解是哪个点?目标函数表示的直线和区域的边界什么关系?

② z=4x+3y何时取最大值?最优解是哪个点?目标函数表示的直线和区域的边界什么关系?

③ 当a取何值时,z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个?

④ 有没有这样的a使得 z=ax+y的最大值在C点取得?你还能不能举出其他的函数使得最优解分别是A点、B点?


       



七、课后反思

本节课学生“眼睛在看,手在动,脑子在想,嘴巴在说”,基本上达到教学目标,课后作业也反映了学生基本掌握了这节课的知识,只有个别的学生是因为直线的知识和还没有掌握好而导致不能完整的做出来,或者是可行域作错而出现错误.课后在与学生的交谈的过程中,学生表示这节课还是很好掌握,特别是结合HP Prime来讲,更加深了对于图解法求最优解的理解。当然也存在许多不足:在本节课的开始,关于线性规划的背景教师讲解过多,应该淡化,让学生自己思考,体会建立数学模型的建立过程。在学生活动的过程中,给予学生的时间应该要更充足,教师要敢于“浪费时间”,不能为了提高效率而越俎代庖,要让学生自己去操作思考感悟,得出相应的规律。因为时间的关系,例2没有完全的呈现出来,不能不说是一个遗憾。


小编提示:

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